Cómo hacer tríos pitagóricos

Empezaré este blog con algo bastante sencillo, pero útil a su vez, especialmente para profesores. Son dos fórmulas simples para encontrar triángulos rectángulos, de los cuáles todos sus lados sean números enteros.

Un trío pitagórico , consiste en tres números, a, b, y c, en los que se cumple que a² + b² = c². Estos números, además, son los lados de un triángulo rectángulo.

Quise hacer esto después de una vez en que mi profesora de matemáticas  pasó una guía de triángulos rectángulos en circinferencias. El problema es que la terminé bastante rápido al darme cuenta de que todos los triángulos eran el trío 3, 4, 5 ampliado o reducido.

 

Primera fórmula

La primera fórmula sería simplemente agarrar dos números naturales de diferencia dos, podían ser cualquiera, mientras se mantenga la diferencia. El cateto a es la suma de éstos, el cateto b es su multiplicación, y la hipotenusa c es la multiplicación más dos. Traducido a términos algebraicos, queda lo siguiente, con n siendo un número natural cualquiera.

a = (n - 1 + n + 1) = 2n

b = (n - 1)(n + 1) = n² - 1

c = n² + 1

Este método lo encontré una vez que estaba muy aburrido en clases, y al principio ni siquiera requería de lápiz y papel. Quería encontrar algún trío pitagórico mayor a 3, 4, 5, pero que no fuera el mismo ampliado. Lo encontré. El resultado fue el siguiente:

8² + 15² = 17²

64 + 225 = 289

Tras analizarlo un poco encontré que 8 es 3 + 5 y 15 es 3*5. Entonces, ¿podría ocurrir que (5 + 7)² + (5*7)² de como resultado algún otro número elevado a dos? Al terminar esa clase enocontré el resultado. Usando una calculadora, la respuesta es sí.

12² + 35² = 37²

144 + 1225 = 1369

Después probé algunas otras combinaciones, como 7 y 11, 2 y 6, pero solo daba resultado si los dos números tenían de diferencia 2.

 

Segunda fórmula

La segunda fórmula es algo diferente, esta vez, el cateto mayor y la hipotenusa tienen de diferencia 1. Consiste en usar cualquier impar, luego cuadrarlo y dividir el resultado en dos otros números consecutivos que sumados den lo mismo. El cateto a sería nuestro impar, el cateto b, el menor de los números resultantes, y la hipotenusa c, el mayor de ellos. Por lo que, por ejemplo, si nuestro impar es 9, los lados del triángulos serían 9, 40 y 41 respectivamente. En álgebra, podemos expresarlo así, con n, nuevamente, siendo cualquier natural.

a = 2n - 1

$$b=\frac{\left(2n-1\right)^2-1}{2}$$

$$c=\frac{\left(2n-1\right)^2+1}{2}$$

Esto lo encontré en otra ocasión, cuando me di cuenta de que en el trío 7, 24, 25; 24 y 25 suman 7² ó 49.

Por último, me gustaría decir que obviamente hay más métodos. El más común es el de Euclides, exactamente igual a la primera fórmula, donde n y m son dos números naturales.

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²