Seguramente conocerás la anécdota de Gauss. Trata de que cuando él
era niño estaba aburrido en clases y su profesor le hizo sumar todos los
números del 1 al 100, y después de un rato lo logró. Podemos hacer este
ejercicio para encontrar la fórmula que nos permita suma del 1 a
cualquier número.
Lo que sucedió es que el se dio cuenta de que si sumamos 1 y 100, luego 2 y 99, 3 y 98, y así de forma consecutiva, da 101.
1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 +100
Esto sucede hasta llegar al 50 y 51, por lo que
el resultado sería 101 x 50. Sucede lo mismo con cualquier número, por
ejemplo del 1 al 21 sería 21 x 10 ó 10.5 x 20. Entonces, la fórmula para
sumar de 1 hasta n, sería:
1 + 2 + 3 + 4 + … + n = $$\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$
Lo cual arroja los resultados.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, …
Las serias de sumas también pueden ser expresadas como sumatorias, usando la notación sigma (∑). Por lo tanto:
$$\sum _{i=1}^ni=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$
Y ¿cuál sería la fórmula para 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + … + $$\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$ ? Haciendo algo similar obtenemos lo siguiente:
$$\sum _{i=1}^n\frac{i\left(i+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$$
$$\sum _{i=1}^n\frac{i\left(i+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$$
Nótese cómo puede ser escrito usando dos sigmas.
$$\sum _{i_1=1}^n\sum _{i=1}^{i_1}i$$
$$\sum _{i_1=1}^n\sum _{i=1}^{i_1}i$$
Esto lo hice desarrollándolo en mi cuaderno, noté que había un patrón, siendo que también podemos expresarlo así.
$$\sum _{i=1}^ni=\frac{n}{1}\cdot \frac{n+1}{2}$$
$$\sum _{i_1=1}^n\sum _{i=1}^{i_1}i=\frac{n}{1}\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{n+2}{3}$$
El numerador es igual a n • (n + 1) • (n +
2) • (n + 3) • …, y el denominador es 1 • 2 • 3 • 4 … o simplemente
el factorial de algún número. Efectuando la sumatoria anterior,
obtenemos los siguientes resultados.
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84…
Al darme cuenta de esto, quise comprobar si
la suma de estos nuevos números seguiría el patrón. Una rápida
comprobación usando la calculadora gráfica Desmos, en mi celular, confirmó mi especulación.
En el plano cartesiano, la sumatoria y su fórmula general coinciden perfectamente. Nótese nuevamente que es igual si escribimos i con tres sigmas.
Así que, ¿cuál sería la fórmula general para una sumatoria con cualquier cantidad de sigmas? Digamos que esta cantidad de sigmas es un número m, y que el número al que le aplicamos la fórmula es n . Si analizamos el numerador, encontramos que es la multiplicación de los números enteros desde n hasta n + m. Esta multiplicación podemos excribirla como el factorial de la suma de n y m, dividido entre el factorial del antecesor de n, o bien, (n + m)!/(n – 1)!. Si analizamos el denominador, nos podemos dar cuenta de que es simplemente el factorial del sucesor de m. Por ende, la fórmula general, para esta sumatoria con m cantidad de sigmas, sería la siguiente.
$$\frac{\left(n+m\right)!}{\left(n-1\right)!\left(m+1\right)!}$$
En Desmos, podemos comprobar que también coincide con cuatro sigmas, al igual que con cinco, seis, siete, ocho, etc.. Si reemplazamos n con x, y m con nuestra cantidad de sigmas.
Como podemos ver, nuevamente coinciden. Además, como curiosidad tenemos que si m es par, los números negativos tendrán altura negativa, pero si m es impar, los negativos tendrán altura positiva. Otra curiosidad es que si a m le asignamos los valores -1 y 0, nos arrojará una secuencia de unos y los números naturales, respectivamente.
En último lugar, me gustaría hacer una mención honorífica a Desmos, una excelente calculadora gráfica que me ha ayudado bastante para crear los artículos de este pequeño blog.
