Cómo encontrar los números de Pascal

Siendo este hallazgo una de las cosas que me motivó a empezar este blog, y con las tarjetas gráficas Pascal ya disponibles (no realmente, prefiero Polaris), decidí publicarlo.

Seguramente conoces el triángulo de Pascal, ¿no? Pues es un triángulo en el que se representan los coeficientes numéricos de las potencias de un binomio, ordenados en una pirámide. Se puede construir si ponemos unos en los bordes y luego se van sumando dos números obtener el de abajo. Aunque Blaise Pascal no fue el primero en descubrir el triángulo, él fue quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y ordenó bien la información.

Imagen animada hecha por Hersfold para Wikipedia, dominio público.

Por ejemplo, si nuestro binomio es (a + b), (a + b)² sería a² + 2ab + b². Pero la cosa se pone más complicada si queremos sacar los coeficientes numéricos para un exponente más grande, como16. Intenté sacarlos en clases para el19, pero simplemente no pude. Un día, poco después de haber hecho la fórmula para las sumatorias, escribí las secuencias resultantes en mi cuaderno.

Ahí me di cuenta de algo bastante interesante. Escribí una secuencia de unos encima de la primera fila.

Eso me lo hizo aún más claro. Primero, las secuencias de números son idénticas tanto horizontalmente como verticalmente. Pero más sorprende es que, en segundo lugar, estos números forman el triángulo de Pascal diagonalmente. ¿Coincidencia? No lo creo.

Entonces, si ya tenemos la frórmula general para los valores dentro de todas estas secuencias, tendríamos que transformarla en una que dé los valores en el triángulo. Recordemos que originalmente era (n + m)!/(n - 1)!(m + 1)!

Analizemos la fila 5: 

• en el primer valor tenemos que n = 1 y m = 4, la fórmula sería 5!/0!5! = 1
• en el segundo valor tenemos que n = 2 y m = 3, la fórmula sería 5!/1!4! = 5
• en el tercer valor tenemos que n = 3 y m = 2, la fórmula sería 5!/2!3! = 10
• en el cuarto valor tenemos que n = 4 y m = 1, la fórmula sería 5!/3!2! = 10
• en el quinto valor tenemos que n = 5 y m = 0, la fórmula sería 5!/4!4! = 5
• en el sexto valor tenemos que n = 6 y m = -1, la fórmula sería 5!/5!0! = 1

Ahora se ve claramente un patrón, con el que se puede conseguir la fórmula. Dicha fórmula sería el factorial del número de fila, dividido entre la multiplicación del factorial del antecesor de la posción del valor en la fila y el factorial de la diferencia entre el antecesor de la posción del valor en la fila y el número de fila. Eso parece difícil de entender, pero no lo es escrito algebraicamente. Definamos el número de fila como n, y la posición horizontalmente como m. La fórmula sería la siguiente:


$$\frac{n!}{\left(m-1\right)!\left(n-m+1\right)!}$$

Esta fórmula tiene características muy interesantes. Arroja todos los valores de una fila, desde el primer 1 hasta el último. Además, podemos reemplazar m por x y de esta manera graficar los valores.


También podemos utilizarla para otras propiedades de este increíble triángulo. Por ejemplo, para las potencias de 2:

$$2^n = \sum _{i=0}^n\frac{n!}{i!\left(n-i\right)!}$$

Después de terminar esta fórmula la busqué en Google. Encontré algunos artículos bastante interesantes, como uno hecho por el señor Harlan J. Brothers sobre e y Pascal.

Contacté a Harlan y en menos de dos días me respondió. Quiero darle un saludo por inspirarme a escribir este blog, es una persona muy amigable.

Fórmula general para series matemáticas

Seguramente conocerás la anécdota de Gauss. Trata de que cuando él era niño estaba aburrido en clases y su profesor le hizo sumar todos los números del 1 al 100, y después de un rato lo logró. Podemos hacer este ejercicio para encontrar la fórmula que nos permita suma del 1 a cualquier número.

Lo que sucedió es que el se dio cuenta de que si sumamos 1 y 100, luego 2 y 99, 3 y 98, y así de forma consecutiva, da 101.

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 +100

Esto sucede hasta llegar al 50 y 51, por lo que el resultado sería 101 x 50. Sucede lo mismo con cualquier número, por ejemplo del 1 al 21 sería 21 x 10 ó 10.5 x 20. Entonces, la fórmula para sumar de 1 hasta n, sería:

1 + 2 + 3 + 4 + … + n = $$\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$

Lo cual arroja los resultados.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, …

Las serias de sumas también pueden ser expresadas como sumatorias, usando la notación sigma (∑). Por lo tanto:

$$\sum _{i=1}^ni=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$

Y ¿cuál sería la fórmula para  1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + … + $$\frac{n\left(n+1\right)}{2}$$ ? Haciendo algo similar obtenemos lo siguiente:

$$\sum _{i=1}^n\frac{i\left(i+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$$

Nótese cómo puede ser escrito usando dos sigmas.

$$\sum _{i_1=1}^n\sum _{i=1}^{i_1}i$$

Esto lo hice desarrollándolo en mi cuaderno, noté que había un patrón, siendo que también podemos expresarlo así.

$$\sum _{i=1}^ni=\frac{n}{1}\cdot \frac{n+1}{2}$$

$$\sum _{i_1=1}^n\sum _{i=1}^{i_1}i=\frac{n}{1}\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{n+2}{3}$$

El numerador es igual a n • (n + 1) • (n + 2) • (n + 3) • …, y el denominador es 1 • 2 • 3 • 4 … o simplemente el factorial de algún número. Efectuando la sumatoria anterior, obtenemos los siguientes resultados.

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84…

Al darme cuenta de esto, quise comprobar si la suma de estos nuevos números seguiría el patrón. Una rápida comprobación usando la calculadora gráfica Desmos, en mi celular, confirmó mi especulación.

En el plano cartesiano, la sumatoria y su fórmula general coinciden perfectamente. Nótese nuevamente que es igual si escribimos i con tres sigmas.

Así que, ¿cuál sería la fórmula general para una sumatoria con cualquier cantidad de sigmas? Digamos que esta cantidad de sigmas es un número m, y que el número al que le aplicamos la fórmula es n . Si analizamos el numerador, encontramos que es la multiplicación de los números enteros desde n hasta n + m. Esta multiplicación podemos excribirla como el factorial de la suma de n y m, dividido entre el factorial del antecesor de n, o bien, (n + m)!/(n – 1)!. Si analizamos el denominador, nos podemos dar cuenta de que es simplemente el factorial del sucesor de m. Por ende, la fórmula general, para esta sumatoria con m cantidad de sigmas, sería la siguiente.

$$\frac{\left(n+m\right)!}{\left(n-1\right)!\left(m+1\right)!}$$

En Desmos, podemos comprobar que también coincide con cuatro sigmas, al igual que con cinco, seis, siete, ocho, etc.. Si reemplazamos n con x, y m con nuestra cantidad de sigmas.

Como podemos ver, nuevamente coinciden. Además, como curiosidad tenemos que si m es par, los números negativos tendrán altura negativa, pero si m es impar, los negativos tendrán altura positiva. Otra curiosidad es que si a m le asignamos los valores -1 y 0, nos arrojará una secuencia de unos y los números naturales, respectivamente.

En último lugar, me gustaría hacer una mención honorífica a Desmos, una excelente calculadora gráfica que me ha ayudado bastante para crear los artículos de este pequeño blog.

Desmos.com
Desmos en Google Play
Desmos para iOS

Cómo hacer tríos pitagóricos

Empezaré este blog con algo bastante sencillo, pero útil a su vez, especialmente para profesores. Son dos fórmulas simples para encontrar triángulos rectángulos, de los cuáles todos sus lados sean números enteros.

Un trío pitagórico , consiste en tres números, a, b, y c, en los que se cumple que a² + b² = c². Estos números, además, son los lados de un triángulo rectángulo.

Quise hacer esto después de una vez en que mi profesora de matemáticas  pasó una guía de triángulos rectángulos en circinferencias. El problema es que la terminé bastante rápido al darme cuenta de que todos los triángulos eran el trío 3, 4, 5 ampliado o reducido.

 

Primera fórmula

La primera fórmula sería simplemente agarrar dos números naturales de diferencia dos, podían ser cualquiera, mientras se mantenga la diferencia. El cateto a es la suma de éstos, el cateto b es su multiplicación, y la hipotenusa c es la multiplicación más dos. Traducido a términos algebraicos, queda lo siguiente, con n siendo un número natural cualquiera.

a = (n - 1 + n + 1) = 2n

b = (n - 1)(n + 1) = n² - 1

c = n² + 1

Este método lo encontré una vez que estaba muy aburrido en clases, y al principio ni siquiera requería de lápiz y papel. Quería encontrar algún trío pitagórico mayor a 3, 4, 5, pero que no fuera el mismo ampliado. Lo encontré. El resultado fue el siguiente:

8² + 15² = 17²

64 + 225 = 289

Tras analizarlo un poco encontré que 8 es 3 + 5 y 15 es 3*5. Entonces, ¿podría ocurrir que (5 + 7)² + (5*7)² de como resultado algún otro número elevado a dos? Al terminar esa clase enocontré el resultado. Usando una calculadora, la respuesta es sí.

12² + 35² = 37²

144 + 1225 = 1369

Después probé algunas otras combinaciones, como 7 y 11, 2 y 6, pero solo daba resultado si los dos números tenían de diferencia 2.

 

Segunda fórmula

La segunda fórmula es algo diferente, esta vez, el cateto mayor y la hipotenusa tienen de diferencia 1. Consiste en usar cualquier impar, luego cuadrarlo y dividir el resultado en dos otros números consecutivos que sumados den lo mismo. El cateto a sería nuestro impar, el cateto b, el menor de los números resultantes, y la hipotenusa c, el mayor de ellos. Por lo que, por ejemplo, si nuestro impar es 9, los lados del triángulos serían 9, 40 y 41 respectivamente. En álgebra, podemos expresarlo así, con n, nuevamente, siendo cualquier natural.

a = 2n - 1

$$b=\frac{\left(2n-1\right)^2-1}{2}$$

$$c=\frac{\left(2n-1\right)^2+1}{2}$$

Esto lo encontré en otra ocasión, cuando me di cuenta de que en el trío 7, 24, 25; 24 y 25 suman 7² ó 49.

Por último, me gustaría decir que obviamente hay más métodos. El más común es el de Euclides, exactamente igual a la primera fórmula, donde n y m son dos números naturales.

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

Bienvenida

¡Hola mundo! Mi nombre es Juan Pablo Herrera, soy estudiante de segundo medio, vivo en Santiago De Chile y me apasionan las matemáticas. Admiro a muchos matemáticos, Euclides, Euler, Hardy y Ramanujan, particularmente a este último. Ramanujan encontró muchísimas propiedades interesantes, pero quedaron en cuadernos que solo él podía leer. Es por eso que he decidido abrir este blog, para compartir con el mundo algunas de las maravillosas cosas que he encontrado y escrito en mi cuaderno de matemáticas, sin que queden ahí y que nadie más las conozca.

Creo que lo primero que empezó todo esto fue un día que estaba aburrido en clases. Escribí todos los números cuadrados a ver hasta cuál llegaba. Luego escribí las diferencias y me dí cuenta de que eran todos los impares, quedando algo así.

Concluí que el cuadrado de un número es la suma de todos los impares hasta el correspondiente a ese número, o también:

n² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + … + 2n – 1

Así conocí las series de sumas (sin aún entender el sigma), cosa que será fundamental para muchas entradas en este blog.

Siempre había sido bueno para las matemáticas en mi colegio, pero no era algo que disfrutara tanto, me parecía aburrido y repetitivo. Sin embargo, después de este punto me dio mucha curiosidad, saber por ejemplo, ¿puedo crear una fórmula para encontrar números primos?¿qué pasa si aplico este mismo procedimiento con los números al cubo? Y así empecé a hallar propiedades y fórmulas muy útiles.

Estas fórmulas son las que publicaré aquí, y de una manera en que literalmente un niño de 15 años pueda entender, bien explicadas, en lenguaje informal, con demostración, etc…