Cómo encontrar los números de Pascal

Siendo este hallazgo una de las cosas que me motivó a empezar este blog, y con las tarjetas gráficas Pascal ya disponibles (no realmente, prefiero Polaris), decidí publicarlo.

Seguramente conoces el triángulo de Pascal, ¿no? Pues es un triángulo en el que se representan los coeficientes numéricos de las potencias de un binomio, ordenados en una pirámide. Se puede construir si ponemos unos en los bordes y luego se van sumando dos números obtener el de abajo. Aunque Blaise Pascal no fue el primero en descubrir el triángulo, él fue quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y ordenó bien la información.

Imagen animada hecha por Hersfold para Wikipedia, dominio público.

Por ejemplo, si nuestro binomio es (a + b), (a + b)² sería a² + 2ab + b². Pero la cosa se pone más complicada si queremos sacar los coeficientes numéricos para un exponente más grande, como16. Intenté sacarlos en clases para el19, pero simplemente no pude. Un día, poco después de haber hecho la fórmula para las sumatorias, escribí las secuencias resultantes en mi cuaderno.

Ahí me di cuenta de algo bastante interesante. Escribí una secuencia de unos encima de la primera fila.

Eso me lo hizo aún más claro. Primero, las secuencias de números son idénticas tanto horizontalmente como verticalmente. Pero más sorprende es que, en segundo lugar, estos números forman el triángulo de Pascal diagonalmente. ¿Coincidencia? No lo creo.

Entonces, si ya tenemos la frórmula general para los valores dentro de todas estas secuencias, tendríamos que transformarla en una que dé los valores en el triángulo. Recordemos que originalmente era (n + m)!/(n - 1)!(m + 1)!

Analizemos la fila 5: 

• en el primer valor tenemos que n = 1 y m = 4, la fórmula sería 5!/0!5! = 1
• en el segundo valor tenemos que n = 2 y m = 3, la fórmula sería 5!/1!4! = 5
• en el tercer valor tenemos que n = 3 y m = 2, la fórmula sería 5!/2!3! = 10
• en el cuarto valor tenemos que n = 4 y m = 1, la fórmula sería 5!/3!2! = 10
• en el quinto valor tenemos que n = 5 y m = 0, la fórmula sería 5!/4!4! = 5
• en el sexto valor tenemos que n = 6 y m = -1, la fórmula sería 5!/5!0! = 1

Ahora se ve claramente un patrón, con el que se puede conseguir la fórmula. Dicha fórmula sería el factorial del número de fila, dividido entre la multiplicación del factorial del antecesor de la posción del valor en la fila y el factorial de la diferencia entre el antecesor de la posción del valor en la fila y el número de fila. Eso parece difícil de entender, pero no lo es escrito algebraicamente. Definamos el número de fila como n, y la posición horizontalmente como m. La fórmula sería la siguiente:


$$\frac{n!}{\left(m-1\right)!\left(n-m+1\right)!}$$

Esta fórmula tiene características muy interesantes. Arroja todos los valores de una fila, desde el primer 1 hasta el último. Además, podemos reemplazar m por x y de esta manera graficar los valores.


También podemos utilizarla para otras propiedades de este increíble triángulo. Por ejemplo, para las potencias de 2:

$$2^n = \sum _{i=0}^n\frac{n!}{i!\left(n-i\right)!}$$

Después de terminar esta fórmula la busqué en Google. Encontré algunos artículos bastante interesantes, como uno hecho por el señor Harlan J. Brothers sobre e y Pascal.

Contacté a Harlan y en menos de dos días me respondió. Quiero darle un saludo por inspirarme a escribir este blog, es una persona muy amigable.